Autodesk Fusion：インボリュート歯車の理解と正確なモデルの作成法（第 4 回目）

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1. 歯車諸元

作成する歯車の仕様は以下の通りです。歯数は 60 で設計します。

• 注意点: 内歯車では、歯先径が内径、歯底径が外径となります。
• 同じ歯数、同じ圧力角を持つ外歯車と内歯車は、基礎円径が一致するため、同じインボリュート曲線を共有します。

表. 歯車諸元

	記号	計算式	外歯車	内歯車
歯数	z	-	60	60
モジュール	m	-	1	1
圧力角 (deg)	α	-	20	20
歯末のたけ	ha	1.0m	1.0	1.0
歯元のたけ	hf	1.25m	1.25	1.25
基準円径	D	m×z	60	60
基礎円径	Db	D×cosα	56.38154	56.38154
歯先円径	Da	外: D+2ha  内: D-2ha	62	58
歯底円径	Df	外: D-2hf  内: D+2hf	57.5	62.5

確認事項:

内歯車では「基礎円径 < 歯先円径」を満たす必要があります。歯数が少ない場合（例: 圧力角 20 度の標準歯車で歯数 34 以下）、基礎円径が歯先円径を超え、所定の歯形が成立しなくなります。

外歯車の歯先径（62）と内歯車の歯底径（62.5）の間に半径 0.25 のクリアランスが確保されています。同様に、外歯車の歯底径（57.5）と内歯車の歯先径（58）にも半径 0.25 のクリアランスが確保されています。

2. インボリュート曲線の作成

インボリュート曲線の座標を数式から算出します。

• インボリュート曲線の一般式（m: モジュール、z: 歯数、α: 圧力角、Db: 基礎円径）

x=Db/2×(sinθ - θ×cosθ)
y=Db/2×(cosθ + θ×sinθ)

• 計算範囲は以下の通りです:

外歯車: r ≤ Da/2（r = √(x² + y²)）
内歯車: r ≤ Df/2

• Excel で作成した計算シートを添付しましたので、ご活用ください。
  
  このシートでは、歯形の中心が Y 軸に一致するよう角度補正 φ を適用しています。補正後の式は以下の通りです:

x=Db/2×(sin(θ-φ) - θ×cosθ)
y=Db/2×(cos(θ-φ) + θ×sinθ)
φ=PI/(2z) + (tanα - α)

• Excel シートから xyz の 3 列を抽出して、CSV 形式で保存します。

 

• Fusion でアドイン "importSplineCSV" を使用し、保存した CSV ファイルをスプラインに変換します。
• 作成したスプラインを Y 軸対称にミラーコピーすることで、歯の両側面を形成します。
• 歯先円と基礎円を描き、歯形プロファイルを完成させます。このプロファイルは内歯車の隙間部分に対応します。

 3. 内歯車作成

内歯車のベースとなるリングを作成し、歯形を切り取って、歯数をコピーします。

• 以下の仕様でリングを、[作成]、[押し出し] で作成します。
  • 外径 (Do): 歯底径＋リム厚（ここではリム厚=3m (モジュール)）
    ∴Do=Df+2×3m=62.5+6=68.5
  • 内径(Di): 歯先径 Da=58
  • 厚さ(t): 歯厚=10
    
    
• 作成したリングから、作成した歯形プロファイルを [押し出し] で切り取ります。

• [修正]、[フィレット] で、歯底面と両側のインボリュート面の間に、半径 0.2 のフィレットを 2 か所追加します。

• [作成]、[パターン]、[円形状パターン] をクリックし、[オブジェクト] を「面」として、インボリュート面（2 か所）、フィレット面（2 か所）、歯先円（1 か所）を選択し、[数量] を 60 でコピーします。

• これで内歯車が完成します。

4. かみ合いの確認

同歯数の外歯車を作成して、かみ合いを確認します。Fusion のアドイン "SpurGear" を起動し、以下の諸元を入力します。

Pressure Angle	20
Module	1
Number of Teeth	60
Backlash	0
Root Fillet Radius	0.1
Gear Thickness	10

1. 計算式から作成した内歯車と、アドインから作成した外歯車は、正確に噛み合っていますか。
   
   
2. インボリュート曲線が一致していれば、計算は正確です。外歯車のインボリュート歯面は「凸面」、内歯車のインボリュート歯面は「凹面」となり、凸面 × 凹面のかみ合いです。このかみ合いは、凸面 × 凸面（外歯車同士のかみ合い）に比べ接触応力が低く、歯車の寿命に有利です
   
   
3. 確認ポイント: 前述のように歯先と歯元の間に隙間（頂隙、クリアランス）が存在します。この隙間は、歯車がスムーズに回転するために必要です。
   
   
4. 注意: 同じ歯数の外歯車を単純に打ち抜いた形状では、頂隙が確保されないため正しい内歯車になりません。打ち抜き用の外歯車は、「歯末のたけ」を 1.25m に設定する必要があります。
   
   
5. Fusion App Store で公開されている、歯車作成に関連するアドインの中には、単純に外歯車を打ち抜いた形状（つまり頂隙がない）や、インボリュート面が「凸面」の内歯車を生成する場合があります。利用する際は仕様をよく確認してください。

次に "SpurGear" で歯数だけを 24 に変更（他は同一）して、新しい歯車を作成します。

• 作成した歯車の中心位置を、Y軸方向に 18mm 移動して、正しいかみ合い位置にセットします。
  ∵中心距離a = (60-24)/2=18

• 確認事項: 上右図に示す、内歯車の歯先と、外歯車の歯元が干渉していないか確認します。これを「インボリュート干渉」といいます。内歯車には他に「トロコイド干渉」「トリミング干渉」の確認が必要です。
• インボリュート干渉、トロコイド干渉の計算が可能な Excel シート「内歯車成立条件.xlsx」を添付しましたので、参考としてご利用ください（標準歯車のみで、転位には非対応）。
  
  

5. インボリュート歯形を生成する別の方法

『Fusion - 日本語フォーラム』に投稿された以下のツール 2 本も利用できます。（いずれも筆者投稿）

1.  今回は、インボリュート曲線の生成に「Excel 計算シート」＋「importSplineCSV」スクリプトを使いましたが、以下の投稿先にあるアドイン「SketchPointPlus」を使うことも可能です。数式欄に、今回のインボリュート計算式を入れて範囲設定すると、Fusion のスケッチにダイレクトに作図します。
   
   • 3D ポイント・カーブ作成アドイン（直接座標入力、Excel データ貼付、数式入力対応）作成しました
2. また、インボリュート歯車の生成に "SpurGear" を使いましたが、以下の投稿先にある "ParumSpurGear" を使うことも可能です。歯車モデル作成後も、パラメータファイルを修正して歯数の変更が可能なので、各種の検討が可能です。
   
   • あと修正可能な簡易歯車作成ツール "ParamSpurGear" の紹介
    

まとめ

本記事では以下の内容について解説しました:

• Excel によるインボリュート座標計算シートの紹介  
• Fusion でインボリュート座標データから内歯車モデルの作成方法  

これにて「インボリュート歯車の理解と正確なモデルの作成法（1～4）」シリーズは終了です。最後までご覧いただき、ありがとうございました。

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• Autodesk Fusion：インボリュート歯車の理解と正確なモデルの作成法（第 1 回目）
• Autodesk Fusion：インボリュート歯車の理解と正確なモデルの作成法（第 2 回目）
• Autodesk Fusion：インボリュート歯車の理解と正確なモデルの作成法（第 3 回目）