Muitas tabuas com sangakus estão preservados em museus ou templos e outras se perderam.
Mas além de serem um problema matemático, muitas figuras apresentam um cuidado visual em que as cores, as figuras geométricas devem ser bonitas e atraentes.
Mas além de serem um problema matemático, muitas figuras apresentam um cuidado visual em que as cores, as figuras geométricas devem ser bonitas e atraentes.
Replica de uma tabua exposta no tempo Atsuta
A minha proposta foi apresentar e adaptar alguns problemas para serem solucionados no Autocad.
E para finalizar, mais problemas para resolver...
Problema 1
O segundo Sangaku no canto inferior direito e faz parte da placa apresentada no templo Katayamahiko de outubro em 1873.
Três círculos com raio = x estão inscritos no círculo raio 50. Qual é o valor do raio X?
Problema 2
O problema foi apresentado em 1800 pelo estudante Kobata Atsukuni no templo Toba
O circulo de raio 50 inscreve dois triângulos equiláteros. Qual é comprimento do lado D?
Problema 3
Sangako de 1819. 1819 encontrado no diário de Yamaguchi Kanzan.
Colocamos alfinetes na posição de cada vértice de um dodecágono regular (doze lados). Em seguida, pegamos um fio de comprimento l = 150 cm e o enrolamos ao redor do pinos, formando um pequeno dodecaedro regular no centro, conforme mostra a figura. Qual é o comprimento do lado S do pequeno dodecaedro?
Problema 4
Oito círculos estão inscritos no triangulo retângulo , conforme mostra a figura. Qual é o valor do raio do círculo?
Respostas em breve.
Links do posts anteriores sobre Sangaku
Sangaku – Matemática sagrada...resolvendo no Autocad
Continuando sobre Sangaku...com Autocad 3D
Abraço e fique bem!
Rosa Katori
rosa-cad.comSolucionado! Ir para Solução.
Solucionado por josileissu. Ir para Solução.
Boa noite,
Eu não me preocupei muito com a escrita, só escrevi o que fui pensando enquanto desenhava no cad.
1) R.: 23.2051
Os três círculos dividem o círculo em 3 segmentos com 120° entre si. Estes segmentos compartilham de um ponto tangente com os círculos. Com isto, a reta tangente aos círculos menores e ao círculo maior possuem inclinação de 60°. Pode-se ligar os pontos de interseção dos segmentos com o círculo maior para obter o segmento de reta. Após isto copia-se o segmento no ponto tangente dos círculos menores com o círculo maior e constrói-se o triângulo isósceles.
Traça-se a reta bissetriz de dois ângulos para encontrar o ponto de incentro do triângulo. Copia-se o círculo encontrado nos outros pontos. Ou aplica-se um array polar com centro no circulo maior com angulo de 120°.
2) R.: 26.7617
O centro do círculo é o circuncentro do triângulo equilátero verde, que coincide com o centro geométrico do triângulo.
Ainda, por ser um triângulo equilátero, os ângulos internos são 60°, o que a partir do centro traça-se segmentos de retas com ângulos de 120° entre si para encontrar os vértices deste triângulo.
Após obter o triângulo verde, constrói-se o triângulo equilátero inferior com ângulos de 60°...
3)
São traçados 12 segmentos de reta conectando os alfinetes.
Cada alfinete é composto de dois segmentos com angulo entre si de 30°.
Cos15° = (segm/2)/raio → segm=2*raio*cos15°
Então o raio vai ser:
Segm*12 = 12*2*raio*cos15° = 150
Raio = 150/(24*cos15°)=6.4705...
Sen 15 = d/raio
Tan 15 = (x/2)/d, então, x = 2d*tan15
D = sen 15°*raio → x = 2raio*sen15*tan15 = 2*150/24*sen15/cos15*tan15=2*150/24*(tan15°)²=0.897459621
4) Os pontos tangentes dos círculos criam uma perpendicular na hipotenusa do triângulo externo. Como é um triângulo retângulo pitagórico (3,4,5), a medida da hipotenusa é 45. Ainda, unindo os raios/diâmetros dos círculos, pode-se observar que também é construído um triângulo retângulo pitagórico (6r, 8r, 10r). Assim, 45 = 10r + x + y, onde x e y são os pedacinhos restantes dos segmentos divididos pelos pontos tangentes dos círculos externos. Ainda, nos catetos, os círculos extremos que tangenciam criam um triângulo isósceles no qual fica: y = 36-9r e x = 27-7r. Com isso conseguimos encontrar o valor de r por:
45 = x+y+10r = (27-7r)+(36-9r)+10r = 27+36-16r+10r = 63 - 6r → 45 - 63 = -6r → -18 = -6r
r = 18/6 = 3cm.
Fim 🙂
Olá
Parabéns !
Os sangakus foram criados para serem resolvidos através dos cálculos e você conseguiu...
No Autocad , existem várias soluções.
Depende do raciocínio de cada um.
Eu falo para os meus alunos: O que é fácil para você pode ser difícil para mim. Um exemplo é desenhar um quadrado, é possível usar o comando Rectangle, Polygon, Polyline e até com o comando Line e Join. O que é mais fácil e prático? O resultado será um quadrado? Ok, é valido.
Abraço e fique bem!
Rosa Katori
rosa-cad.comSeguem as minhas soluções no Autocad:
Problema 1
Problema 2
Para resolver o problema , apliquei o comando Scale – opção Reference.
Copiei o triangulo (vermelho) , posicionei conforme mostra a figura e apliquei o comando Scale - opção Reference.
Segue o link com a dica sobre opção Reference do comando Scale e Rotate
Problema 3
Com o comando Array Polar , dividi um círculo (raio qualquer) em 12 partes . Como comando Polyline e ligando os pontos, criei a figura, conforme mostra a imagem.
Com a janela Properties – Length , obtive o comprimento da Polyline.
Com o comando Scale – opção Refence, alterei o comprimento para 150
Acompanhe a sequência:
Mensagem na linha de comando ou através do Dynamic Input |
Procedimentos para a execução do comando |
Scale |
Ative o comando. |
Select object |
Selecione o objeto e pressione Enter. |
Specify base point: |
Especifique o ponto base. |
Specify scale factor or [Copy/Reference] |
Selecione a opção Reference |
Specify reference length |
Digite 107.7744 e pressione Enter |
Specify new length or [Points]: |
Digite 150 e pressione Enter |
Problema 4
A partir dos 8 círculos (com raio qualquer) , criei o triângulo retângulo, conforme mostra a figura.
Com o comando Scale – opção Reference alterei o tamanho dos objetos.
Acompanhe a sequencia
Mensagem na linha de comando ou através do Dynamic Input |
Procedimentos para a execução do comando |
Scale |
Ative o comando. |
Select object |
Selecione o objeto e pressione Enter. |
Specify base point: |
Especifique o ponto base. |
Specify scale factor or [Copy/Reference] |
Selecione a opção Reference |
Specify reference length |
Digite 54.73 e pressione Enter |
Specify new length or [Points]: |
Digite 36 e pressione Enter |
Abraço e fique bem!
Rosa Katori
rosa-cad.comUau, vários usos para o scale... Eu tinha imaginado que as respostas tinham de ser embasadas formalmente. Depois que eu fui ver os outros desafios e com a sua resolução, entender que era pra obter com o uso do AutoCAD as respostas.
Valeuu
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